양수 \(x\)에 대하여 \(x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 3\) 일 때, \(\dfrac{x^2 + x^{-2}}{x + x^{-1}}\) 의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

\(1\)이 아닌 세 양수 \(a, b, c\)가 \(a^2 = b^3 = c^4\) 을 만족시킬 때, \(\log_a b + \log_b c + \log_c a\) 의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{2\pi}{3}\) 인 부채꼴의 넓이가 \(12\pi\) 일 때, 반지름의 길이 \(r\)와 부채꼴의 둘레의 길이를 각각 구하는 과정을 논술하시오.

반지름의 길이가 \(2\sqrt{7}\) 인 원에 내접하는 삼각형 \(\text{ABC}\)에서 \(\angle\text{A} = \dfrac{\pi}{3}\) 이고 \(\overline{\text{AB}} : \overline{\text{AC}} = 3 : 1\) 일 때, 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 구하는 과정을 논술하시오.

첫째항이 \(1\)이고 공차가 \(2\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \[\sum_{k=1}^{24} \dfrac{2}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}\] 의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

극한 \(\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 3} - bx\right) = 3\) 이 성립할 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a + b\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 3) = f(x)\) 를 만족시키고, \[f(x) = \begin{cases} ax + 2 & (0 \le x < 1) \\ x^2 - 2x + b & (1 \le x \le 3) \end{cases}\] 일 때, 두 상수 \(a, b\)의 값과 \(f(10)\)의 값을 각각 구하는 과정을 논술하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} x^3 + ax + b & (x < 1) \\ 4x^2 - 2x + 3 & (x \ge 1) \end{cases}\) 이 \(x = 1\) 에서 미분가능할 때, 두 상수 \(a, b\)에 대하여 \(a^2 + b^2\) 의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 6)x + 1\) 이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값과 최솟값의 차를 구하는 과정을 논술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[f(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt\] 를 만족시킬 때, \(f(3)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.